타일을 붙여도 반복되지 않는 기하학적 모양

2023년 3월 23일 보고서

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작성자: Bob Yirka, Phys.org

요크셔 대학, 케임브리지 대학, 워털루 대학, 아칸소 대학의 수학자 4명이 타일을 붙여도 반복되지 않는 2D 기하학적 모양을 발견했습니다. David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan 및 Chaim Goodman-Strauss는 독특한 모양과 가능한 용도를 어떻게 발견했는지 설명하는 논문을 작성했습니다. 전체 논문은 arXiv 사전 인쇄 서버에서 이용 가능합니다.

사람들은 바닥을 타일로 칠할 때 사각형이나 삼각형과 같은 반복 패턴에 적합한 단순한 기하학적 모양을 사용하는 경향이 있습니다. 하지만 때때로 사람들은 반복되지 않지만 동일한 유형의 모양을 사용하는 경우 어려운 패턴을 원합니다. 이 새로운 노력에서 연구팀은 타일링에 사용될 경우 반복 패턴을 생성하지 않는 단일 기하학적 모양을 발견했습니다.

연구원들은 그들의 시나리오에서 타일링이란 겹치거나 틈이 없도록 모양을 함께 맞추는 것을 의미한다고 지적했습니다. 반복되는 패턴이 없는 타일링은 비주기적 타일링으로 알려져 있으며 일반적으로 여러 타일 모양을 사용하여 달성됩니다. 수년 동안 수학자들은 타일링 시 무한히 다양한 패턴을 만드는 데 사용할 수 있는 모양을 만드는 아이디어를 연구해 왔습니다.

첫 번째 시도 중 하나에서는 20,426개의 타일 세트가 탄생했습니다. 그 후 1974년에 두 개의 서로 다른 모양의 마름모 세트로 제공되는 펜로즈 타일이 개발되었습니다. 그 이후로 수학자들은 "아인슈타인" 모양, 즉 비주기 타일링에 단독으로 사용할 수 있는 단일 모양을 계속해서 검색해 왔습니다.

특히 그 이름은 유명한 물리학자의 이름이 아닌 독일어로 "하나의 돌"이라는 문구에서 유래되었습니다. 이 새로운 노력에서 연구팀은 찾기 어려운 아인슈타인 모양을 발견했다고 주장하고 이를 수학적으로 증명했습니다.

이 모양은 13개의 면으로 이루어져 있으며 팀에서는 이를 간단히 "모자"라고 부릅니다. 그들은 먼저 컴퓨터를 사용하여 가능성을 축소한 다음 결과로 나온 더 작은 세트를 손으로 연구함으로써 그것을 발견했습니다. 그들이 좋은 가능성이라고 믿는 것을 얻은 후에는 조합 소프트웨어 프로그램을 사용하여 이를 테스트한 다음 기하학적 비공약성 논증을 사용하여 모양이 비주기적이라는 것을 증명했습니다. 연구자들은 모자의 응용 가능성이 가장 높은 분야가 예술 분야라고 말하며 마무리합니다.

추가 정보: David Smith 외, 비주기적 단분위수, arXiv(2023). DOI: 10.48550/arxiv.2303.10798

저널 정보:arXiv

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