콴타 매거진

2023년 6월 5일

Quanta Magazine의 매기 치앙(Maggie Chiang)

기고 작가

2023년 6월 5일

수학자들은 불가능해 보이는 일이 존재한다는 것을 증명할 때 기뻐합니다. 옥스포드 대학교 1학년 대학원생인 Cédric Pilatte가 지난 3월 온라인에 게시한 새로운 증거가 그러한 경우입니다.

Pilatte는 명백히 양립할 수 없는 두 가지 속성을 만족하는 집합(수들의 집합)을 만드는 것이 가능하다는 것을 증명했습니다. 첫 번째는 세트에 있는 두 쌍의 숫자의 합이 동일한 합계가 아니라는 것입니다. 예를 들어, {1, 3, 5, 11}의 두 숫자를 더하면 항상 고유한 숫자를 얻게 됩니다. 이와 같이 작은 "시돈" 집합을 구성하는 것은 쉽지만 요소 수가 증가함에 따라 합계가 일치할 가능성도 높아져 집합의 시돈 특성이 파괴됩니다.

두 번째 요구 사항은 세트가 매우 커야 한다는 것입니다. 이는 무한해야 하며 집합에 최대 3개의 숫자를 더하여 충분히 큰 숫자를 생성할 수 있어야 합니다. 집합을 "차수 3의 점근적 기저"로 만드는 이 속성에는 크고 조밀한 숫자 집합이 필요합니다. Pilatte는 "그들은 반대 방향으로 당기고 있습니다"라고 말했습니다. "시돈 세트는 작게 제한되고 점근적 기저가 크게 제한됩니다. 이것이 작동할 수 있는지는 확실하지 않았습니다."

그러한 집합이 존재하는지에 대한 의문은 1993년 헝가리의 수학자 Paul Erdös와 두 명의 공동 작업자에 의해 제기된 이후 수십 년 동안 지속되어 왔습니다. Erdös가 Sidon 집합에 매료된 것은 1932년 Sidon 집합의 발명가와 나눴던 대화에서 찾을 수 있습니다. 당시 이 세트의 성장률을 이해하는 데 관심이 있었던 Simon Sidon. (Erdös는 나중에 Sidon을 "보통의 수학자보다 더 미친 사람"이라고 묘사했는데, 이는 거의 확실히 칭찬의 의미였습니다.)

시돈 집합은 정수론, 조합론, 조화 분석 및 암호학을 포함한 다양한 수학적 맥락에서 발생하지만, 그것이 얼마나 커질 수 있는지에 대한 간단한 질문은 Erdös가 그의 경력 대부분 동안 숙고한 지속적인 미스터리였습니다. Erdös는 Sidon 세트가 확장하기 매우 어렵다는 사실을 일찍부터 깨달았습니다. 1941년에 그와 다른 수학자들은 구성원이 모두 일부 정수 N보다 작은 가능한 가장 큰 시돈 집합은 N의 제곱근에 N의 네 번째 루트에 비례하여 증가하는 항을 더한 것보다 작아야 함을 증명했습니다. (1969년까지, Bernt Lindström은 이것이 $latex \sqrt{N}+\sqrt[4]{N}+1$보다 작다는 것을 보여 주었고, 2021년에 다른 수학자 그룹은 $latex \sqrt{N}+0.998 \로 경계를 강화했습니다. times \sqrt[4]{N}$.) Sidon 세트는 희소해야 합니다.

시돈 집합은 어떤 정수도 많아야 두 숫자의 합으로 표현될 수 있는 2차의 점근적 기초가 될 수 없다는 것이 오랫동안 알려져 왔습니다. (예를 들어 홀수는 2차의 기초를 형성합니다.) Pilatte가 설명했듯이 이것은 매우 간단하여 수학자들이 그것을 적지 않았다는 것을 보여줍니다. "2차가 불가능하다는 것은 아마도 그보다 훨씬 일찍 알려졌을 것입니다. 문헌에 명시적으로 기록되어 있습니다." 그는 "시돈 수열은 특정 밀도를 초과할 수 없는 반면 차수 2의 점근적 염기는 항상 해당 임계값보다 밀도가 높기 때문에 두 특성이 동시에 유지될 수 없기 때문"이라고 설명했습니다.

일반적으로 차수 3의 점근적 기초가 시돈 집합으로부터 구성될 수 있다고 믿어졌지만, 이를 증명하는 것은 또 다른 문제입니다. Pilatte의 고문인 James Maynard는 "사람들은 이것이 사실이라고 믿었습니다."라고 말했습니다. "하지만 우리가 사용하고 있던 기술에는 어려움이 있었습니다."

Pilatte가 도전을 시작하기 전에 약간의 진전이 있었습니다. 2010년에 헝가리 수학자 Sándor Kiss는 Sidon 집합이 5차의 점근적 기초가 될 수 있음을 보여주었습니다. 즉, 충분히 큰 정수는 집합의 최대 5개 요소의 합으로 쓸 수 있음을 의미합니다. 그의 동료들은 차수 4의 점근적 기초에 대한 추측을 증명했습니다. 2년 후, 스페인 수학자 하비에르 시레루엘로(Javier Cilleruelo)는 차수 3 + e의 점근적 기초인 시돈 집합을 구성하는 것이 가능하다는 것을 증명함으로써 이러한 결과를 한 단계 더 발전시켰습니다. 충분히 큰 정수 N은 시돈 집합의 네 구성원의 합으로 기록될 수 있으며, 그 중 하나는 임의의 작은 양수 e에 대해 Ne보다 작습니다.