선물 포장 다섯 개의 오렌지는 여러 세대에 걸쳐 수학 분야 최고의 인재들을 능가했습니다

구형 물체를 완벽하게 감싸는 것은 사소해 보이지만 수세기 동안 수학자들을 난처하게 만든 작업입니다.

"예전에는 오렌지만 선물로 받았는데, 정말 기뻤어요!" 이것은 오늘날 아이들이 받는 엄청난 양의 선물을 나이 많은 사람이 비판할 때 가끔 듣는 표현입니다. 그들이 거의 언급하지 않는 것은 선물 포장입니다. 오렌지 5개를 선물로 주고 싶다고 가정해 보겠습니다. 공간과 포장지를 최대한 적게 사용하도록 과일을 어떻게 배열하시겠습니까?

밝혀진 바에 따르면, 겉으로는 무해해 보이는 이 질문 뒤에는 많은 수학이 숨어 있습니다. 결국, 과일 상인들이 옛날부터 알고 있던 것을 증명하는 데 400년 이상이 걸렸습니다. 즉, 3차원 공간에서 무한한 공을 피라미드 모양으로 배열함으로써 최적으로 쌓을 수 있다는 것입니다. 케플러의 추측으로 알려진 이 퍼즐에 대한 검증된 해결책은 2017년까지 발표되지 않았습니다. 그러나 유한한 수의 물체만 고려하면 상황은 상당히 다릅니다.

놀랍게도 수학자들은 19세기 후반까지 후자의 문제를 다루지 않았습니다. 노르웨이의 기하학자인 Axel Thue는 1892년에 처음으로 유한한 수의 2차원 원의 최적 배열을 연구했습니다. 헝가리 수학자 László Fejes Tóth가 이 주제를 언급한 이후 수십 년이 지나서야 이 분야에서 중요한 발전이 이루어졌습니다.

문제에 대한 더 나은 느낌을 얻으려면 먼저 단순화된 2차원 사례를 고려하는 것이 도움이 됩니다. 예를 들어, 공간을 최대한 절약하는 방법으로 같은 크기의 동전 여러 개를 배열할 수 있습니다. 이를 위해 우리는 끈 조각으로 윤곽을 잡아서 단단히 묶은 다음 끈이 둘러싸는 면적을 계산합니다. n = 2개의 동전의 경우 최적의 배열을 빠르게 찾습니다. 서로 닿도록 동전을 내려 놓습니다. 반지름이 r인 두 동전을 둘러싸는 가장 짧은 문자열의 길이는 (4 + 2π)r입니다.

이 길이는 섹션별로 가장 잘 계산됩니다. 문자열의 직선 부분(4 xr)과 원을 둘러싸는 둥근 영역(2πr)을 더합니다. 문자열은 (4 + π)r2의 전체 면적을 포함합니다. 이 경우 동전을 배열하는 데 공간을 절약할 수 있는 방법은 더 이상 존재하지 않습니다.

반면에 세 개의 동전을 사용할 수 있는 경우 갑자기 공간 절약처럼 보이는 두 가지 다른 배열이 나타납니다. 하나는 동전을 나란히 정렬하거나 정삼각형의 모서리를 따라 배치하는 것입니다. 첫 번째 경우 문자열은 소시지 모양을 가지게 되며, 이것이 수학에서 "소시지" 팩이라고 불리는 이유입니다. 두 번째 사례는 전문가들이 말하는 '피자팩'이다. 하지만 소시지 포장과 피자 포장 중 어떤 배열이 더 공간 절약적일까요?

결과적으로 피자 팩이 더 좋습니다. 이 끈의 길이는 (6 + 2π)r이고, 덮힌 면적은 이에 상응하는 (6 + √ 3 + π)r2입니다. 반면 소시지 팩의 끈은 (8 + 2π)r 길이이며 ( 8 + π)r2. 자세히 살펴보면 이 차이는 사진에서도 바로 확인할 수 있습니다. 소시지 배열의 동전 사이의 공간은 피자 팩보다 더 큽니다.

실제로 필요한 문자열 길이와 제한된 영역에 대한 일반 공식이 제공될 수 있습니다. n개의 동전을 소시지 모양으로 배열하려면 4(n – 1)r2 + πr2의 면적을 둘러싸는 길이 4(n – 1 + 2π)r의 문자열이 필요합니다. 반면, 모양이 정육각형과 최대한 유사한 삼각형 격자를 따라 동전을 배치하는 경우 필요한 것은 (2n + √의 면적을 둘러싸는 길이 2(n + π)r의 문자열입니다. 3(n – 2) + π)r2.

따라서 우리는 피자 팩이 n개의 원에 대해 소시지 모양보다 공간 효율적이라는 것을 보여주었습니다. 하지만 정말 항상 최적일까요? 그것을 결정하는 것은 훨씬 더 어려운 작업입니다. 결국, 더 적은 면적을 차지하는 완전히 혼란스러운 원 배열이 있을 수 있습니다. 그러한 사례를 제거하는 것은 극히 어렵습니다. 이것이 헝가리 수학자 László Fejes Tóth가 등장하는 곳입니다. 1975년에 그는 n개의 원을 최적으로 채우는 것은 가능한 한 규칙적인 육각형 모양을 형성하는 삼각형 격자의 배열이라고 추측했습니다.